工程矩阵笔记
第一章、线性空间和线性映射
第一节：线性空间
第三章
行列式因子
定义：λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk (λ)称为k阶行列式因子。比如-2λ+1就不属于
不变因子和行列式因子的关系：不变因子di ，行列式因子Di 。通常d1 =D1=1 ，d2 =D2 /D1 …,dr =Dr /Dr-1 。Dr其实是r阶矩阵的最大公因式，又能被前一项整除因此可以方便的确定
要是给出的矩阵是对角形式的，用行列式因子能很快的求解出不变因子，从而求出Smith标准型。
初等因子：把不变因子分解成一次因式子的方幂，λ2是而（λ2+1）就属于二次因式，如果有形如（λ+1）2的不变因子则初等因子直接就是（λ+1）2不用再次细分
如果是对角线矩阵那么他的对角线元素就是初等因子，可以先化为对角阵再求初等因子(已知初等因子可求得Jordan矩阵)，再根据初等因子求不变因子,已知不变因子可求Smith矩阵(非零次不变因子次数的总和即为数字方阵的阶数)。
或者用标准方法（速度慢）：求数字矩阵的初等因子，不变因子，smith,jordan应该先把A->A(λ)【λE-A】->根据A(λ)的秩求Dk-D1->不变因子->初等因子（不含常数）
对角矩阵的初等因子就是对角线元素
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初等因子可以得到Jordan矩阵
第四章矩阵分解
矩阵的满秩分解
书本P151不难,将A通过初等行变换变成指定形式,然后在原A中取列无关的向量构成B，C中取行无关向量构成C。
矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
P154，把A唯一的分解为A=UR用来求解方程Ax=b;->URx=b,U=(v1,v2,v3)，其中v1,v2,v3由A的列向量Schmidit正交化标准化，()代表内积所得，对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，仅作单位化即可。
LU分解有时间就看
矩阵的奇异值分解
对于任何一个矩阵都有rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A)
奇异值分解视频
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奇异值最好从大到小排列
矩阵右上角H ，表示共轭转置，在复数矩阵中用。若是实矩阵，与转置符号T相同【不是逆，P156例题中的UH=U(-1)，因为U是酉矩阵】，Hermite矩阵正定矩阵、半正定矩阵。常见的几类矩阵（正交矩阵、酉矩阵、正规矩阵等）
2、AHA和AAH都是正半定Hermite矩阵=>AAH和AHA的特征值=>奇异值的定义[书本P157 4.3.1] Hermite矩阵AH=A
3、正规矩阵的奇异值为非零特征值之模长
4、奇异值分解的定理（两种形式）、U1和V1之间的关系可以加速求解速度
正规矩阵的谱分解的定义
参考\
第五章、特征值的估计
第一节：特征值界的估计
1、Schur不等式
2、特征值的模长实部虚部上界
第三节：Rayleigh商
1、定义、性质定理（尤其最大最小）:书本P144定理3.11.1，2
广义特征向量
第六章、矩阵范数及矩阵级数
第一节：向量范数
1、向量范数的定义-3条
2、向量的p-范数，包括1范数、2范数、无穷范数
三分钟速成向量范数
第二节：矩阵范数
1、矩阵范数的定义-4条
2、矩阵的m1范数
3、矩阵的Frobenius范数、性质
矩阵范数速成
矩阵幂级数
考点
第五章一二四节不考，第三节填空题
第一章重点考填空题
第二章主要也是定义，考的也不会太多
正交化公式记一下
酉，正交变换不考
幂等矩阵投影变换不考
第二章第二节正交化方法易考，各种矩阵定义需知道，变换不考
第三章有至少一道大题
初等因子考试必求
涉及后续jordan标准型，smith标准型求解过程
求相似变换矩阵不作要求
rayleigh商要知道大概率考填空题
广义逆考会考
伪逆矩阵有一道大题
Kronecker积会考【Kronecker 积第一节相关定理证明】
线性矩阵代数方程会考
题型大概为填空5题，其余均大题
章节目录参考压缩文件
好题解析
Be happy .
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